2005 年考研数学（一） 第 17 题

被积函数是「多项式 $\times$ 高阶导数」，分部积分能把 $f^{\prime \prime \prime }$ 逐级降到 $f^{\prime },f$，代价是产生一串端点值——而这些端点值恰好由图中切线斜率、所过点坐标、拐点条件全部给定。所以先从图形读出 $f(0),f(3),f^{\prime }(0),f^{\prime }(3),f^{\prime \prime }(3)$，再机械地分部积分两次。

分析：先由图形的几何条件读出 $f$ 在 $0$ 和 $3$ 处的函数值与导数值，再用分部积分。

由已知条件得 $f(0)=0$，$f(3)=2$。切线 $l_2$ 过 $(0,0)$ 与 $(2,4)$，斜率为 $2$，故 $f^{\prime }(0)=2$；切线 $l_1$ 过 $(3,2)$ 与 $(2,4)$，斜率为 $\frac{2-4}{3-2}=-2$，故 $f^{\prime }(3)=-2$；又 $(3,2)$ 是拐点，故 $f^{\prime \prime }(3)=0$。

用分部积分：
$${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x)dx={\int }_0^3(x^2+x)d{f}^{\prime \prime }(x)=(x^2+x)f^{\prime \prime }(x){|}_0^3-{\int }_0^3(2x+1)f^{\prime \prime }(x)dx.$$

首项 $(x^2+x)f^{\prime \prime }(x){|}_0^3=12f^{\prime \prime }(3)-0=0$。再对余项分部积分：
$$-{\int }_0^3(2x+1)d{f}^{\prime }(x)=-(2x+1)f^{\prime }(x){|}_0^3+{\int }_0^{3}2f^{\prime }(x)dx.$$

其中 $-(2x+1)f^{\prime }(x){|}_0^3=-[7f^{\prime }(3)-f^{\prime }(0)]=-[7\times (-2)-2]=16$，${\int }_0^{3}2f^{\prime }(x)dx=2[f(3)-f(0)]=4$。

故 ${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x)dx=16+4=20$。