2005 年考研数学（一） 第 18 题

证「存在 $\xi$ 使某等式成立」的第一反应是构造辅助函数：把 $f(\xi )=1-\xi$ 看成 $\phi (x)=f(x)-1+x$ 的零点，端点异号便得。第二问要 $f^{\prime }(\eta )f^{\prime }(\zeta )=1$，关键洞察是用 $\xi$ 把区间劈成两段，两段的平均变化率恰好互为倒数，乘积自然为 $1$。

分析：（I）构造辅助函数用零点定理；（II）借助（I）的 $\xi$，在 $[0,\xi ]$ 与 $[\xi ,1]$ 上两次用拉格朗日中值定理。

（I） 令 $\phi (x)=f(x)-1+x$，则 $\phi$ 在 $[0,1]$ 上连续，$\phi (0)=f(0)-1=-1<0$，$\phi (1)=f(1)-1+1=1>0$。由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $\phi (\xi )=0$，即 $f(\xi )=1-\xi$。

（II） 在 $[0,\xi ]$ 与 $[\xi ,1]$ 上分别用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (0,\xi )$，$\zeta \in (\xi ,1)$，使
$$f^{\prime }(\eta )=\frac{f(\xi )-f(0)}{\xi -0}=\frac{1-\xi }{\xi },f^{\prime }(\zeta )=\frac{f(1)-f(\xi )}{1-\xi }=\frac{1-(1-\xi )}{1-\xi }=\frac{\xi }{1-\xi }.$$

两式相乘得 $f^{\prime }(\eta )f^{\prime }(\zeta )=\frac{1-\xi }{\xi }\cdot \frac{\xi }{1-\xi }=1$，其中 $\eta \ne \zeta$。证毕。