2005 年考研数学（一） 第 19 题

「恒为同一常数」是题眼：任两条绕原点曲线的积分相减为零，说明在不含原点的区域内积分与路径无关，于是 $Q_x=P_y$。把这个偏导恒等式展开，它必须对 $x$ 恒成立，因此按 $x$ 的幂次分别令系数相等，就把偏导条件化成可解的 $\phi$ 的常微分方程。

记 $P(x,y)=\frac{\phi (y)}{2x^2+y^4}$，$Q(x,y)=\frac{2xy}{2x^2+y^4}$。

（I） 设 $C$ 是右半平面 $x>0$ 内任一简单闭曲线。在 $C$ 上取两点 $A,B$ 将其分为两段 $L_1,L_2$，再取一条从 $A$ 到 $B$、绕原点的有向曲线 $L_3$，使 $L_1^{-}+L_3$ 与 $L_2+L_3$ 都是绕原点的正向闭曲线。由题设，它们的积分都等于同一常数 $A$：
$${\oint }_{L_1^{-}+L_3}\frac{\phi (y)dx+2xydy}{2x^2+y^4}=A,{\oint }_{L_2+L_3}\frac{\phi (y)dx+2xydy}{2x^2+y^4}=A.$$

两式相减，$L_3$ 上的积分相消，得 ${\oint }_{L_1^{-}}-{\oint }_{L_2}=0$，即 ${\oint }_C\frac{\phi (y)dx+2xydy}{2x^2+y^4}=0$。

（II） 由（I），右半平面内积分与路径无关，故在 $x>0$ 内 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。计算
$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2y(2x^2+y^4)-8x^{2}y}{(2x^2+y^4{)}^2}=\frac{2y^5-4x^{2}y}{(2x^2+y^4{)}^2},\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{(2x^2+y^4){\phi }^{\prime }(y)-4y^3\phi (y)}{(2x^2+y^4{)}^2}.$$

令两分子相等：$2y^5-4x^{2}y=2x^2{\phi }^{\prime }(y)+y^4{\phi }^{\prime }(y)-4y^3\phi (y)$。比较 $x$ 的同次幂系数得
$${\phi }^{\prime }(y)=-2y,y{\phi }^{\prime }(y)-4\phi (y)=2y^2.$$

由 ${\phi }^{\prime }(y)=-2y$ 得 $\phi (y)=-y^2+C$，代入第二式：$-2y^2-4(-y^2+C)=2y^2-4C=2y^2$，故 $C=0$。所以 $\phi (y)=-y^2$。