2005 年考研数学（一） 第 20 题

「秩为 $2$」直接翻译成矩阵行列式为零，这是定参数 $a$ 的突破口。化标准形走正交对角化的标准流程：求特征值、求特征向量、正交单位化。第三问不必依赖标准形，直接对原二次型配方成平方和，令每个平方项为零即得解集。

二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}1-a& 1+a& 0\\ 1+a& 1-a& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。

（I） 因秩 $r(A)=2$，故 $|A|=0$。而 $|A|=2\left[(1-a{)}^2-(1+a{)}^2\right]=2\cdot (-4a)=-8a$，令 $-8a=0$ 得 $a=0$。

（II） 当 $a=0$ 时 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$。由 $|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -2{)}^2=0$，得特征值 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2={\lambda }_3=2$。

${\lambda }_1=0$ 时解 $(0E-A)\mathbf{x}=0$，得 ${\mathbf{\xi }}_1=(-1,1,0{)}^T$；${\lambda }_2={\lambda }_3=2$ 时解 $(2E-A)\mathbf{x}=0$，得 ${\mathbf{\xi }}_2=(1,1,0{)}^T,{\mathbf{\xi }}_3=(0,0,1{)}^T$。它们两两正交，单位化得 ${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T$，${\mathbf{\gamma }}_3=(0,0,1{)}^T$。

取 $Q=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，则正交变换 $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$ 把二次型化为标准形 $f=2y_2^2+2y_3^2$。

（III） 当 $a=0$ 时 $f=x_1^2+x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2+2x_3^2$。令 $f=0$ 得 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0,\\ x_3=0,\end{array}$ 故解为 $\mathbf{x}=C(-1,1,0{)}^T$（$C$ 为任意常数）。