2004 年考研数学（一） 第 22 题

示性变量把事件概率与随机变量的数字特征连了起来：$X,Y$ 服从 $0$-$1$ 分布，期望方差由 $P(A),P(B)$ 直接给出，联合分布只需 $P(AB)$。突破口是先用条件概率公式补齐 $P(AB),P(B)$ 三个基本量，之后全是套公式。$E(XY)$ 只在 $X=Y=1$（即 $AB$）时非零，是算协方差的巧点。

分析：先由条件概率公式求出 $P(AB)$ 与 $P(B)$，再算 $(X,Y)$ 的联合分布，最后由协方差求相关系数。

$P(AB)=P(A)P(B\mid A)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$；$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A\mid B)}=\frac{1/12}{1/2}=\frac{1}{6}$。

（I）联合分布： $$P\{X=1,Y=1\}=P(AB)=\frac{1}{12},P\{X=1,Y=0\}=P(A)-P(AB)=\frac{1}{6},$$ $$P\{X=0,Y=1\}=P(B)-P(AB)=\frac{1}{12},P\{X=0,Y=0\}=1-P(A)-P(B)+P(AB)=\frac{2}{3}.$$

（II） 边缘分布 $X\sim B\left(1,\frac{1}{4}\right),Y\sim B\left(1,\frac{1}{6}\right)$，故 $E(X)=\frac{1}{4},D(X)=\frac{3}{16}$，$E(Y)=\frac{1}{6},D(Y)=\frac{5}{36}$。又 $E(XY)=P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{12}$，$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{1}{12}-\frac{1}{24}=\frac{1}{24}$。

${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{1/24}{\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{6}}=\frac{1/24}{\sqrt{15}/24}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$。