2004 年考研数学（一） 第 23 题

参数估计两法各走各路：矩估计用'理论矩 = 样本矩'，先积分求 $E(X)=\frac{\beta }{\beta -1}$ 再令等于 $\bar{X}$；最大似然用'对数似然求导 = 0'。题给的是分布函数，故第一步统一是求导得密度。见到 $x^{-\beta }$ 型密度，取对数后 $\beta$ 是线性的，求导非常干净。

分析：先求密度函数；（I）用 $E(X)=\bar{X}$ 解出 $\beta$；（II）写出似然函数，取对数后求极值。

密度函数 $f(x;\beta )=F^{\prime }(x;\beta )=\{\begin{array}{ll}\frac{\beta }{x^{\beta +1}},& x>1,\\ 0,& x\le 1.\end{array}$

（I） $E(X)={\int }_1^{+\infty }x\cdot \frac{\beta }{x^{\beta +1}}\mathrm{d}x=\beta {\int }_1^{+\infty }{x}^{-\beta }\mathrm{d}x=\frac{\beta }{\beta -1}$。令 $\frac{\beta }{\beta -1}=\bar{X}$，解得矩估计量 $\hat{\beta }=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$。

（II） 似然函数 $L(\beta )=\prod _{i=1}^n\frac{\beta }{x_i^{\beta +1}}={\beta }^n{\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{-(\beta +1)}(x_i>1)$。取对数 $\ln L=n\ln \beta -(\beta +1)\sum _{i=1}^n\ln x_i$。

令 $\frac{\mathrm{d}\ln L}{\mathrm{d}\beta }=\frac{n}{\beta }-\sum _{i=1}^n\ln x_i=0$，解得最大似然估计量 $\hat{\beta }=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\ln X_i}$。