2004 年考研数学（一） 第 21 题

关键概念是'可对角化 $⟺$ 每个特征值几何重数 = 代数重数'。二重根的两种成因必须分开讨论，因为它们给出不同的 $a$、不同的重根值，从而 $r({\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 不同、结论也不同。一旦出现重根 + 是否可对角化，就去算 $r({\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 比较几何/代数重数。

分析：先写出特征多项式并分解，二重根分两种情形讨论；再由几何重数 $n-r({\lambda }_0\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 是否等于代数重数判断能否对角化。

特征多项式 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -2)({\lambda }^2-8\lambda +3a+18)$。

情形一：$\lambda =2$ 是二重根。 代入 ${\lambda }^2-8\lambda +3a+18=0$ 得 $4-16+3a+18=0$，$a=-2$。此时 $2\mathbf{E}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 1& -2& 3\\ -1& 2& -3\end{array}\right)$，$r(2\mathbf{E}-\mathbf{A})=1$，故 $\lambda =2$ 有 $3-1=2$ 个线性无关特征向量，几何重数等于代数重数，$\mathbf{A}$ 可相似对角化。

情形二：$\lambda =2$ 是单根，而 ${\lambda }^2-8\lambda +3a+18=0$ 有二重根。 由判别式 $\Delta =64-4(3a+18)=0$ 得 $a=-\frac{2}{3}$，二重根为 ${\lambda }_2={\lambda }_3=4$。此时 $r(4\mathbf{E}-\mathbf{A})=2$，$\lambda =4$ 只有 $3-2=1$ 个线性无关特征向量，几何重数小于代数重数，$\mathbf{A}$ 不可相似对角化。