2003 年考研数学（一） 第 8 题

本题考「极限的渐近性 vs 逐项成立」以及未定式判别。看到「对任意 $n$」的断言，第一反应是找反例（极限只管尾部）；看到乘积就按 $0\cdot \infty$（未定）与 $1\cdot \infty$（确定为无穷）区分——后者可用 $\epsilon$-$N$ 说明 $b_n$ 最终大于 $\frac{1}{2}$，从而 $b_n{c}_n\to \infty$。

极限是 $n\to \infty$ 时的性质，不能推出对每个 $n$ 都成立的不等式；又 $0\cdot \infty$ 未定，而 $1\cdot \infty =\infty$。

取 $a_n=\frac{3}{n},b_n=1,c_n=\frac{n}{3}$（满足全部题设）：$a_1=3>b_1=1$，故 (A) 不成立；$b_n=1$ 未必小于 $c_n$（如 $n=1,2$ 时），(B) 不成立；$a_n{c}_n=\frac{3}{n}\cdot \frac{n}{3}=1$，极限存在，(C) 不成立。

对 (D)：取 $\epsilon =\frac{1}{2}$，由 $\lim b_n=1$ 知存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|b_n-1|<\frac{1}{2}$，从而 $b_n>\frac{1}{2}$。于是 $n>N$ 时 $b_n{c}_n>\frac{1}{2}{c}_n$，由 $\lim c_n=\infty$ 得 $\lim b_n{c}_n=\infty$，即极限不存在，应选 D。