2003 年考研数学（一） 第 7 题

这类「看导函数图求极值」题，要把注意力从「函数图」切换到「导数符号」——极值点就是 $f^{\prime }$ 的变号点。关键陷阱是 $f^{\prime }$ 图在 $x=0$ 处断开：该点导数不存在但函数连续，仍要按左右符号判断是否为极值，漏掉它就会数错个数。

由 $f^{\prime }(x)$ 的符号变化确定极值点：$f^{\prime }$ 由正变负处为极大值点，由负变正处为极小值点（含 $f^{\prime }$ 不存在但 $f$ 连续的点）。

设 $f^{\prime }(x)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标从左到右为 $a,b,c$，则 $f(x)$ 有三个驻点 $x=a,b,c$ 及一个导数不存在的点 $x=0$。

$x<a$ 时 $f^{\prime }>0$，$x\in (a,b)$ 时 $f^{\prime }<0$，故 $x=a$ 为极大值点；
$x\in (b,0)$ 时 $f^{\prime }>0$，故 $x=b$ 为极小值点；
$x\in (0,c)$ 时 $f^{\prime }<0$，故 $x=0$ 为极大值点；
$x>c$ 时 $f^{\prime }>0$，故 $x=c$ 为极小值点。

故 $f(x)$ 有两个极大值点（$a,0$）和两个极小值点（$b,c$），应选 C。