2003 年考研数学（一）第 6 题

填空题 · 4 分

已知一批零件的长度

X

（单位：cm）服从正态分布

N (μ, 1)

，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40（cm），则

μ

的置信度为 0.95 的置信区间是 ___.
（注：标准正态分布函数值

Φ (1.96) = 0.975, Φ (1.645) = 0.95

.）

提示 1

方差已知（

σ^{2} = 1

），对正态均值作区间估计，应选服从标准正态的枢轴量

\frac{X ˉ - μ}{σ / n}

，而不是

t

分布。

提示 2

置信度

0.95

对应

α = 0.05

，临界值取

u_{α /2} = u_{0.025} = 1.96

（这正是题目给出

Φ (1.96) = 0.975

的用意）。

提示 3

套用公式

\overset{x}{ˉ} \pm u_{α /2} \frac{σ}{n}

，代入

σ = 1, n = 16, \overset{x}{ˉ} = 40

即得区间。

答案与详解

答案 $(39.51, 40.49)$

思路（为什么这么做）

区间估计第一步是判断「方差已知与否」以选对枢轴量：此处

σ

已知，故用

N (0, 1)

而非

t

分布。题目特意给

Φ

的数值就是提示用正态分位数；随后把置信度换成

u_{α /2} = 1.96

，套标准公式

\overset{x}{ˉ} \pm u_{α /2} σ / n

即可。

解答

方差 $σ^{2} = 1$ 已知，对正态均值 $μ$ 作区间估计，用枢轴量 $\frac{X ˉ - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)$ 。 这里

σ = 1, n = 16, \overset{x}{ˉ} = 40

，

α = 0.05

，

u_{α /2} = u_{0.025} = 1.96

。

枢轴量

\frac{X ˉ - μ}{1/ 16} = 4 (\overset{ˉ}{X} - μ) \sim N (0, 1)

。由

P {- 1.96 < 4 (\overset{ˉ}{X} - μ) < 1.96} = 0.95

得置信区间

(\overset{x}{ˉ} - \frac{1.96}{4}, \overset{x}{ˉ} + \frac{1.96}{4}) = (40 - 0.49, 40 + 0.49) = (39.51, 40.49) .

2003 年考研数学（一） 第 6 题