2003 年考研数学（一） 第 5 题

二维连续型求概率，核心是「把事件翻译成积分区域」。难点在于同时受 $0\le x\le y\le 1$（密度支撑）与 $x+y\le 1$（事件）约束，画图求交集能避免定错积分限；两条边界 $y=x$ 与 $y=1-x$ 的交点 $x=\frac{1}{2}$ 决定了 $x$ 的上限。

在密度非零区域 $\{0\le x\le y\le 1\}$ 与事件区域 $\{x+y\le 1\}$ 的公共部分上积分。 公共部分为 $0\le x\le \frac{1}{2},x\le y\le 1-x$。

$$P\{X+Y\le 1\}={\iint }_{x+y\le 1}f(x,y)dxdy={\int }_0^{\frac{1}{2}}dx{\int }_x^{1-x}6xdy.$$

内层积分 ${\int }_x^{1-x}6xdy=6x(1-2x)$，于是
$$P={\int }_0^{\frac{1}{2}}6x(1-2x)dx={\int }_0^{\frac{1}{2}}(6x-12x^2)dx=[3x^2-4x^3{]}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$