2003 年考研数学（一） 第 4 题

过渡矩阵题最易错在「方向」。牢记定义 $(\text{新基})=(\text{旧基})\mathbf{Q}$，把它写成矩阵方程 $\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{Q}$，问题就化为纯计算 $\mathbf{Q}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}$。第一步是分清哪组是「从（旧基）」、哪组是「到（新基）」。

由过渡矩阵定义 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)\mathbf{Q}$ 求 $\mathbf{Q}$。 记 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$，$\mathbf{B}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。

过渡矩阵 $\mathbf{Q}$ 满足 $\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{Q}$。注意 ${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$，于是
$$\mathbf{Q}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right).$$

故所求过渡矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$。