2003 年考研数学（一） 第 3 题

题目给出的是傅里叶余弦级数的系数，识别信号是「$\sum a_n\cos nx$ 在对称区间上」。因为只问单个系数 $a_2$，聪明做法是只算 $n=2$ 的那一个欧拉–傅里叶积分，而不展开整个函数；$x^2\cos nx$ 是偶函数，故积分可只在 $[0,\pi ]$ 上做。

这是把 $x^2$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上展开为余弦级数，用欧拉–傅里叶公式求系数 $a_2$。 对 $n\ge 1$，$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\cos nxdx.$$

取 $n=2$，分部积分：
$$a_2=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\cos 2xdx=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^{2}d(\sin 2x)=\frac{1}{\pi }{x}^2\sin 2x{|}_0^{\pi }-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin 2xdx.$$

第一项为 $0$，再对余下积分分部：
$$a_2=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }xd(\cos 2x)=\frac{x}{\pi }\cos 2x{|}_0^{\pi }-\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos 2xdx=\frac{\pi }{\pi }\cdot 1-0=1.$$

故 $a_2=1$。