2003 年考研数学（一） 第 2 题

切平面问题的抓手是法向量。「平行」这一条件把「求切平面」转化为「让曲面法向量 $\{2x_0,2y_0,-1\}$ 与给定法向量 $\{2,4,-1\}$ 成比例」，从而把切点坐标唯一锁定。先定切点、再写点法式，是曲面切平面的固定套路。

求曲面的切平面，使其法向量与已知平面的法向量平行。 令 $F(x,y,z)=x^2+y^2-z$，则切点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $\mathbf{n}=\{F_x,F_y,F_z\}=\{2x_0,2y_0,-1\}$。

已知平面 $2x+4y-z=0$ 的法向量为 $\{2,4,-1\}$。两平面平行，故
$$\frac{2x_0}{2}=\frac{2y_0}{4}=\frac{-1}{-1},$$
解得 $x_0=1,y_0=2$，从而 $z_0=x_0^2+y_0^2=5$，切点为 $(1,2,5)$。

所求切平面为 $2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0$，即 $2x+4y-z-5=0$。