2003 年考研数学（一） 第 1 题

看到「底 $\to 1$、幂 $\to \infty$」应立刻判为 $1^{\infty }$ 型，其标准动作是「取对数 / 凑 $e$」把幂指结构拆开，把核心难点转移到指数上的比值极限。而 $x\to 0$ 时 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$、$\ln (1+x^2)\sim x^2$ 是现成的等价无穷小，替换后一步算出指数极限。

本题为 $1^{\infty }$ 型幂指函数求极限。 把底数写成 $1+(\cos x-1)$，凑出第二个重要极限 $\lim (1+u{)}^{1/u}=e$。

$$(\cos x{)}^{\frac{1}{\ln (1+x^2)}}=[1+(\cos x-1){]}^{\frac{1}{\cos x-1}\cdot \frac{\cos x-1}{\ln (1+x^2)}},$$
当 $x\to 0$ 时 $[1+(\cos x-1){]}^{\frac{1}{\cos x-1}}\to e$。

又由等价无穷小 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$，$\ln (1+x^2)\sim x^2$，得
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{\ln (1+x^2)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x^2/2}{x^2}=-\frac{1}{2}.$$

所以原极限 $=e^{-\frac{1}{2}}$。