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2003 年考研数学（一）第 9 题

选择题 · 4 分

已知函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

的某个邻域内连续，且

x \to 0 y \to 0 lim \frac{f ( x , y ) - x y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = 1

，则（　　）

A点 $(0, 0)$ 不是 $f (x, y)$ 的极值点.
B点 $(0, 0)$ 是 $f (x, y)$ 的极大值点.
C点 $(0, 0)$ 是 $f (x, y)$ 的极小值点.
D根据所给条件无法判别点 $(0, 0)$ 是否为 $f (x, y)$ 的极值点.

提示 1

由极限式反推

f

在原点附近的近似：分母

\to 0

而比值

\to 1

，说明分子与分母同阶，可写出局部展开

f (x, y) = x y + (x^{2} + y^{2})^{2} + o (\cdot)

，并先定出

f (0, 0)

。

提示 2

判别是否极值，最快是沿不同路径考察增量

f (x, y) - f (0, 0)

的符号，其主项由

x y

决定。

提示 3

试沿

y = x

与

y = - x

两条直线：

x y

分别取正、负，若增量随之变号则非极值。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

关键是把「极限

= 1

」翻译成局部展开式

f = x y + (x^{2} + y^{2})^{2} + o

，从而

f (0, 0) = 0

且主项是

x y

。

x y

是不定型（沿

y = x

为正、沿

y = - x

为负），意味着增量在原点任意邻域内变号；用「沿两条特殊直线取符号」比硬套二阶充分条件更快也更稳。

解答

用极限式给出 $f$ 在原点附近的局部表达式，再沿不同方向考察增量的符号。 由

f

的连续性及极限式，

f (0, 0) = 0

，且

f (x, y) = x y + (x^{2} + y^{2})^{2} + o [(x^{2} + y^{2})^{2}] .

沿

y = x

：

f (x, x) = x^{2} + 4 x^{4} + o (x^{4}) = x^{2} + o (x^{2}) > 0

（

x \neq = 0

）；
沿

y = - x

：

f (x, - x) = - x^{2} + 4 x^{4} + o (x^{4}) = - x^{2} + o (x^{2}) < 0

。

即在

(0, 0)

的任意邻域内

f (x, y) - f (0, 0)

既取正值又取负值，故

(0, 0)

不是极值点，应选 A。

考点：多元函数的无条件极值

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