2003 年考研数学（一） 第 10 题

向量组问题优先「转化为秩」。「I 可由 II 表示」给出 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})\le s$；当 I 所含向量个数 $r$ 超过 $s$ 时，秩 $<$ 个数，故 I 必线性相关。把结论安到 II 头上、或方向反了的选项，构造一个无关的 II 作反例即可排除。

若 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 线性表示，则秩 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})\le s$。 当 $r>s$ 时，$r(\mathrm{I})\le s<r$，即向量组 $\mathrm{I}$ 的秩小于其所含向量个数，故 $\mathrm{I}$ 线性相关，(D) 正确。

举反例排除其余：取 $\mathrm{I}:{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)$，$\mathrm{II}:{\mathbf{\beta }}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{1}\right)$，则 $r=1<s=2$ 且 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 表示，但 $\mathrm{II}$ 线性无关，故 (A)、(C) 不成立；
取 $\mathrm{I}:{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)$，$\mathrm{II}:{\mathbf{\beta }}_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$，则 $r=2>s=1$ 且 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 表示，但 $\mathrm{II}$ 线性无关，(B) 不成立。应选 D。