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2003 年考研数学（一） 第 11 题
选择题 · 4 分
设有齐次线性方程组 和 ，其中 均为 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 的解均是 的解，则秩 秩 ；
② 若秩 秩 ，则 的解均是 的解；
③ 若 与 同解，则秩 秩 ；
④ 若秩 秩 ，则 与 同解.
以上命题中正确的是（ ）
① 若 的解均是 的解，则秩 秩 ；
② 若秩 秩 ，则 的解均是 的解；
③ 若 与 同解，则秩 秩 ；
④ 若秩 秩 ，则 与 同解.
以上命题中正确的是（ ）
- A①②.
- B①③.
- C②④.
- D③④.
提示 1
抓住核心对应：齐次组 的解空间维数 ，即「解越多 秩越小」。提示 2
命题 ① ③ 是「由解集的包含/相同推秩的比较」，可由维数关系直接判定。提示 3
命题 ② ④ 是「由秩反推解集」，但秩相等只说明维数相同、并不保证是同一个解空间——试举两个秩相同却不同解的简单例子。答案与详解
答案 B
思路（为什么这么做）
判断这组命题，统一工具是「解空间维数 」。由解集的包含或相等，可推出秩的不等或相等（① ③ 成立）；反过来，秩只决定解空间的维数、不决定它是哪个子空间，故 ② ④ 不成立，用一维行向量的具体反例最有说服力。
解答
齐次方程组的解集包含关系对应系数矩阵秩的大小：解越多，基础解系越大，秩越小。
①正确： 的解都是 的解，则 的基础解系所含向量个数不超过 的，即 ，故 。③正确：同解则解空间相同，维数相等，，即 。
②错：取 ，，但 是 的解却不是 的解。④错：取 ，，但二者不同解。故正确的是①③，应选 B。
①正确： 的解都是 的解，则 的基础解系所含向量个数不超过 的，即 ，故 。③正确：同解则解空间相同，维数相等，，即 。
②错：取 ，，但 是 的解却不是 的解。④错：取 ，，但二者不同解。故正确的是①③，应选 B。