2003 年考研数学（一） 第 12 题

遇到 $t,F,{\chi }^2$ 之间的变换，回到它们的构造定义最可靠。把 $X$ 写成 $U/\sqrt{V/n}$ 后，$1/X^2=\frac{V/n}{U^2}$ 自然成型；关键是认出 $U^2\sim {\chi }^2(1)$，于是比值符合 $F$ 分布定义。自由度的先后顺序（分子来自 $V$、分母来自 $U^2$）决定了究竟是 $F(n,1)$ 还是 $F(1,n)$。

利用 $t$ 分布与 $F$ 分布的构造关系。 因 $X\sim t(n)$，故存在 $U\sim N(0,1)$，$V\sim {\chi }^2(n)$ 且 $U,V$ 相互独立，使 $X=\frac{U}{\sqrt{V/n}}$。

于是
$$Y=\frac{1}{X^2}=\frac{V/n}{U^2}=\frac{V/n}{U^2/1}.$$
注意 $U^2\sim {\chi }^2(1)$ 且与 $V$ 独立，由 $F$ 分布定义 $\frac{V/n}{U^2/1}\sim F(n,1)$，故 $Y\sim F(n,1)$，应选 C。