2003 年考研数学（一） 第 13 题

第一步的钥匙是「过原点」把切点定死——由 $\frac{\ln a}{a}=\frac{1}{a}$ 得 $a=e$。求面积时选「三角形减去 $\int \ln x$」比对复杂边界硬积更省事。绕竖直线 $x=e$ 旋转，优先柱壳法（半径 $e-x$），并用「切线围成的圆锥体积」减去「曲线围成的旋转体」，避免上下边界混淆。

(1) 先求过原点的切线，再用定积分求面积。 设切点为 $(a,\ln a)$，由 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ 知切线斜率为 $\frac{1}{a}$。切线过原点要求 $\frac{\ln a-0}{a-0}=\frac{1}{a}$，即 $\ln a=1$，$a=e$。故切点为 $(e,1)$，切线为 $y=\frac{x}{e}$。

$D$ 由切线 $y=\frac{x}{e}$、曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成，其面积（大三角形面积减去曲线下方部分）
$$A=\frac{1}{2}\cdot e\cdot 1-{\int }_1^e\ln xdx=\frac{e}{2}-[x\ln x-x{]}_1^e=\frac{e}{2}-1.$$

(2) 绕直线 $x=e$ 旋转。 切线 $y=\frac{x}{e}$、$x=e$ 与 $x$ 轴围成的三角形绕 $x=e$ 旋转得圆锥，体积
$$V_1=\frac{1}{3}\pi e^2\cdot 1=\frac{\pi e^2}{3}.$$

曲线 $y=\ln x$、$x=e$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 $x=e$ 旋转（柱壳法，半径 $e-x$）：
$$V_2=2\pi {\int }_1^e(e-x)\ln xdx=2\pi e{\int }_1^e\ln xdx-2\pi {\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{\pi }{2}(4e-e^2-1).$$

所求旋转体体积为两者之差：
$$V=V_1-V_2=\frac{\pi e^2}{3}-\frac{\pi }{2}(4e-e^2-1)=\frac{\pi }{6}(5e^2-12e+3).$$