2003 年考研数学（一） 第 14 题

「先导后积」是展开反三角/对数类函数的通法：$\arctan$ 直接展开无从下手，但其导数 $\frac{C}{1+4x^2}$ 是标准的几何级数原型。积分找回原函数时别忘加常数 $f(0)=\frac{\pi }{4}$。第二问是「用已知展开式求数项和」的经典逆用——代入合适的 $x$ 让幂级数退化成 $\sum \frac{(-1{)}^n}{2n+1}$，再借 $f$ 在该点的显式值解出。

先求导得到易展开的有理式，逐项积分回去，再用特值求数项级数和。 注意 $f(0)=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。对 $f$ 求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+{\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)}^2}\cdot {\left(\frac{1-2x}{1+2x}\right)}^{\prime }=\frac{-2}{1+4x^2}.$$

利用 $\frac{1}{1+u}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{u}^n(|u|<1)$，取 $u=4x^2$：
$$f^{\prime }(x)=-2\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n(4x^2{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{2}^{2n+1}{x}^{2n}(-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}).$$

逐项积分并加上 $f(0)=\frac{\pi }{4}$：
$$f(x)=\frac{\pi }{4}+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt=\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}{2}^{2n+1}}{2n+1}{x}^{2n+1}(-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}).$$

求数项级数的和： 令 $x=\frac{1}{2}$（此处级数收敛），得
$$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{4}+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{2n+1}=\frac{\pi }{4}-\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}.$$

又 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\arctan 0=0$，故
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}.$$