2003 年考研数学（一） 第 15 题

闭曲线上的第二类曲线积分几乎总是先上格林公式。第一问的巧思是化成二重积分后，正方形区域关于 $y=x$ 对称，交换积分变量便把两式对应起来；第二问再把相等的两式相加取平均，凑出 $e^{\sin }+e^{-\sin }$ 的对称组合，用 $e^t+e^{-t}\ge 2$ 与面积 ${\pi }^2$ 一举得到 $\ge 2{\pi }^2$。

(1) 用格林公式把两个曲线积分都化为 $D$ 上的二重积分，再利用 $D$ 关于直线 $y=x$ 的对称性。 由格林公式（$L$ 取正向），
$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}dy-y{e}^{-\sin x}dx={\iint }_D(e^{\sin y}+e^{-\sin x})d\sigma ,$$
$${\oint }_{L}x{e}^{-\sin y}dy-y{e}^{\sin x}dx={\iint }_D(e^{-\sin y}+e^{\sin x})d\sigma .$$

区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，交换积分变量 $x,y$ 积分值不变，故
$${\iint }_D(e^{\sin y}+e^{-\sin x})d\sigma ={\iint }_D(e^{\sin x}+e^{-\sin y})d\sigma ,$$
即两曲线积分相等，(1) 得证。

(2) 由 (1) 中两式相等，取其算术平均，再用不等式 $e^t+e^{-t}\ge 2$。
$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}dy-y{e}^{-\sin x}dx=\frac{1}{2}\left[{\iint }_D(e^{\sin y}+e^{-\sin x})d\sigma +{\iint }_D(e^{-\sin y}+e^{\sin x})d\sigma \right]$$
$$=\frac{1}{2}{\iint }_D(e^{\sin y}+e^{-\sin y}+e^{\sin x}+e^{-\sin x})d\sigma .$$

由 $e^{\sin y}+e^{-\sin y}\ge 2$、$e^{\sin x}+e^{-\sin x}\ge 2$，被积函数 $\ge 4$，而 $D$ 的面积为 ${\pi }^2$，故
$${\oint }_{L}x{e}^{\sin y}dy-y{e}^{-\sin x}dx\ge \frac{1}{2}{\iint }_{D}4d\sigma =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot {\pi }^2=2{\pi }^2.$$
证毕。