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2003 年考研数学（一）第 16 题

解答题 · 10 分

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为

k, k > 0

），汽锤第一次击打将桩打进地下

a

(m). 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数

r (0 < r < 1)

. 问
(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？
(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
（注：m 表示长度单位米.）

提示 1

阻力随深度变化，做功是变力做功：第

n

次击打的功要写成

W_{n} = \int_{x_{n - 1}}^{x_{n}} k x d x

。

提示 2

用「相邻两次功之比为

r

」把

W_{n}

联系起来，会得到关于深度平方

x_{n}^{2}

的递推关系。

提示 3

(2) 深度平方是等比数列的部分和，令

n \to \infty

用等比级数求和取极限即得最大深度。

答案与详解

思路（为什么这么做）

物理应用题的关键是「元素法」写功：阻力

F = k x

随深度变，故

W_{n} = \frac{k}{2} (x_{n}^{2} - x_{n - 1}^{2})

。代入设计条件「功之比为

r

」后，会发现

x_{n}^{2}

恰构成公比

r

的等比数列，问题由物理转成数列/级数；无限次击打的极限深度就是等比级数之和再开方。

解答

用元素法写出每次击打克服阻力所作的功（变力做功），再由等比条件建立递推。 设第

n

次击打后桩的深度为

x_{n}

（

x_{0} = 0, x_{1} = a

），第

n

次击打所作的功为

W_{n}

。阻力

F = k x

，故

W_{1} = \int_{0}^{x_{1}} k x d x = \frac{k}{2} a^{2}, W_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}} k x d x = \frac{k}{2} (x_{2}^{2} - a^{2}), W_{3} = \int_{x_{2}}^{x_{3}} k x d x = \frac{k}{2} (x_{3}^{2} - x_{2}^{2}) .

(1) 由

W_{2} = r W_{1}

得

x_{2}^{2} - a^{2} = r a^{2}

，即

x_{2}^{2} = (1 + r) a^{2}

；由

W_{3} = r W_{2} = r^{2} W_{1}

得

x_{3}^{2} - (1 + r) a^{2} = r^{2} a^{2}

，即

x_{3}^{2} = (1 + r + r^{2}) a^{2}

。故

x_{3} = 1 + r + r^{2} a (m),

即击打

3

次后可将桩打进地下

1 + r + r^{2} a

米。

(2) 一般地由

W_{n + 1} = \frac{k}{2} (x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2}) = r^{n} W_{1} = \frac{k}{2} r^{n} a^{2}

，结合归纳可得

x_{n + 1}^{2} = (1 + r + \dots + r^{n}) a^{2} = \frac{1 - r ^{n + 1}}{1 - r} a^{2}, x_{n + 1} = \frac{1 - r ^{n + 1}}{1 - r} a .

由

0 < r < 1

，

n \to \infty lim x_{n + 1} = \frac{1}{1 - r} a = \frac{a}{1 - r} .

即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下

\frac{a}{1 - r}

米。

考点：定积分物理应用（功、压力、引力）、常数项级数的概念与性质

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