2003 年考研数学（一） 第 17 题

第一问的动机是「消去反函数」，核心工具是反函数二阶导公式 $\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}$，代入后 $(y^{\prime }{)}^3$ 恰好约掉，露出常系数方程。第二问是标准的二阶常系数非齐次解法：特征根写齐次解、待定系数求特解；注意特征根为 $\pm 1$，与正弦项不共振，故特解无需乘 $x$。

(1) 用反函数求导公式把对 $y$ 的导数换成对 $x$ 的导数。 由 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}$，再对 $y$ 求导（$\frac{d}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}\frac{d}{dx}$）：
$$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{1}{y^{\prime }}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{y^{\prime }}\right)=\frac{1}{y^{\prime }}\cdot \left(-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^2}\right)=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}.$$

代入原方程 $-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}+(y+\sin x)\frac{1}{(y^{\prime }{)}^3}=0$，两边乘以 $(y^{\prime }{)}^3\ne 0$，得
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-y=\sin x.$$

(2) 解二阶常系数线性非齐次方程 $y^{\prime \prime }-y=\sin x$。 齐次方程 $y^{\prime \prime }-y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-1=0$，特征根 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1$，齐次通解 $y_h=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x$。

设特解 $y_0=a\cos x+b\sin x$，则 $y_0^{\prime \prime }-y_0=-2a\cos x-2b\sin x=\sin x$，比较系数得 $a=0,b=-\frac{1}{2}$，即 $y_0=-\frac{1}{2}\sin x$。故通解
$$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x-\frac{1}{2}\sin x.$$

代入初始条件：$y(0)=C_1+C_2=0$；$y^{\prime }=-C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x-\frac{1}{2}\cos x$，$y^{\prime }(0)=-C_1+C_2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，即 $-C_1+C_2=2$。解得 $C_1=-1,C_2=1$。所求解为
$$y=e^x-e^{-x}-\frac{1}{2}\sin x.$$