2003 年考研数学（一） 第 18 题

面对多重积分之比，先「降维」——球/极坐标把它们都写成 ${\int }_0^t{r}^{k}f(r^2)dr$ 的形式，比值结构立刻清晰。单调性用变限积分求导，并把正负号收进辅助函数 $\phi$（$\phi (0)=0$、${\phi }^{\prime }>0$）来判定；不等式则整理成 $\int f\cdot \int r^{2}f-(\int rf{)}^2$，这正是柯西–施瓦茨不等式，构造 $h(t)$ 求导取严格号即证。

先用球坐标、极坐标把各重积分化为一元积分。
$${\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)dv={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }d\phi {\int }_0^t{r}^2\sin \phi f(r^2)dr=4\pi {\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr,$$
$${\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)d\sigma ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{t}rf(r^2)dr=2\pi {\int }_0^{t}rf(r^2)dr,{\int }_{-t}^{t}f(x^2)dx=2{\int }_0^{t}f(x^2)dx.$$

于是
$$F(t)=2\frac{{\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr}{{\int }_0^{t}rf(r^2)dr},G(t)=\pi \frac{{\int }_0^{t}rf(r^2)dr}{{\int }_0^{t}f(r^2)dr}.$$

(1) 对 $F(t)$ 求导（商式，分子用变限积分求导）：
$$F^{\prime }(t)=2tf(t^2)\cdot \frac{t{\int }_0^{t}rf(r^2)dr-{\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr}{{\left({\int }_0^{t}rf(r^2)dr\right)}^2}.$$
令 $\phi (t)=t{\int }_0^{t}rf(r^2)dr-{\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr$，则 $\phi (0)=0$，${\phi }^{\prime }(t)={\int }_0^{t}rf(r^2)dr>0(t>0)$，故 $\phi (t)>0(t>0)$。又 $f>0$，得 $F^{\prime }(t)>0(t>0)$，故 $F(t)$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调增加。

(2) 当 $t>0$ 时，$F(t)-\frac{2}{\pi }G(t)>0$ 等价于
$${\int }_0^{t}f(r^2)dr{\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr-{\left({\int }_0^{t}rf(r^2)dr\right)}^2>0.$$
令 $h(t)$ 为上式左端，则 $h(0)=0$，求导可得
$$h^{\prime }(t)=f(t^2){\int }_0^{t}f(r^2)(t-r{)}^{2}dr>0(t>0),$$
故 $h(t)>0(t>0)$，即当 $t>0$ 时 $F(t)>\frac{2}{\pi }G(t)$。（此即柯西–施瓦茨不等式的严格情形。）