2003 年考研数学（一） 第 19 题

这题处处「不必硬算」：相似不改变特征值，故 $B$ 与 $A^{\ast }$ 同谱；再用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 得 ${\lambda }_{A^{\ast }}=|A|/{\lambda }_A$，把问题拉回到最易算的 $A$。特征向量顺着关系链走——$A$ 与 $A^{\ast }$ 共用特征向量，相似把它变成 $P^{-1}\mathbf{\alpha }$，而加 $2E$ 只平移特征值、不动特征向量。

利用相似不改变特征值，以及可逆矩阵与其伴随矩阵特征值的关系 ${\lambda }_{A^{\ast }}=\frac{|A|}{{\lambda }_A}$、二者特征向量相同。 先求 $A$ 的特征值：
$$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& -2& -2\\ -2& \lambda -3& -2\\ -2& -2& \lambda -3\end{array}\right|=(\lambda -1{)}^2(\lambda -7),$$
得 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1,{\lambda }_3=7$，且 $|A|=1\cdot 1\cdot 7=7$。

$A$ 的特征向量：$\lambda =1$ 代入 $(E-A)X=0$，$E-A\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 ${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$；$\lambda =7$ 代入 $(7E-A)X=0$，得 ${\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$。

$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda }$，即 $7,7,1$。因 $B=P^{-1}{A}^{\ast }P$ 与 $A^{\ast }$ 相似，故 $B$ 的特征值也为 $7,7,1$，从而 $B+2E$ 的特征值为 $9,9,3$。

特征向量。 $A$ 可逆时 $A^{\ast }$ 与 $A$ 有相同的特征向量；又若 $A^{\ast }\mathbf{\alpha }=\mu \mathbf{\alpha }$，则 $B(P^{-1}\mathbf{\alpha })=P^{-1}{A}^{\ast }\mathbf{\alpha }=\mu (P^{-1}\mathbf{\alpha })$，且 $B$ 与 $B+2E$ 特征向量相同。由 $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，

属于特征值 $9$（对应 $A$ 的 $\lambda =1$）的线性无关特征向量为
$${\mathbf{\beta }}_1=P^{-1}{\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=P^{-1}{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right);$$
属于特征值 $3$（对应 $A$ 的 $\lambda =7$）的特征向量为
$${\mathbf{\beta }}_3=P^{-1}{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

综上，$B+2E$ 的特征值为 $9,9,3$；属于 $9$ 的全部特征向量为 $k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2$（$k_1,k_2$ 不全为零），属于 $3$ 的全部特征向量为 $k_3{\mathbf{\beta }}_3$（$k_3\ne 0$）。