2003 年考研数学（一） 第 20 题

「共点」的代数刻画是关键第一步：三线交于一点 $\iff$ 含常数项的齐次组有非零解 $\iff$ 系数行列式 $|A|=0$。必要性靠把行列式分解成 $(a+b+c)$ 与 $\sum (a-b{)}^2$ 两块，「三线互异」保证后者非零，逼出 $a+b+c=0$；充分性反过来，用「三式之和为零」说明方程相容且前两式系数行列式非零、解唯一。

必要性。 设三条直线交于一点 $(x_0,y_0)$，则齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解 $(x_0,y_0,1{)}^{\mathrm{T}}$，其中
$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 2b& 3c\\ b& 2c& 3a\\ c& 2a& 3b\end{array}\right),$$
故 $|A|=0$。

将 $A$ 的第 $2$、$3$ 列（提取系数后）加到第 $1$ 列，提出公因子 $a+b+c$ 并化简，可得
$$|A|=-6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=-3(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2].$$
因三直线互异，$a,b,c$ 不全相等，$(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ne 0$，由 $|A|=0$ 得 $a+b+c=0$。

充分性。 设 $a+b+c=0$。此时三个方程左端之和为 $(a+b+c)(x+2y)=0$、右端之和为 $-3(a+b+c)=0$，故第三个方程可由前两个线性表示，方程组与前两个方程
$$\{\begin{array}{l}ax+2by=-3c,\\ bx+2cy=-3a\end{array}$$
同解。

其系数行列式
$$\left|\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& 2c\end{array}\right|=2(ac-b^2)=-2[a(a+b)+b^2]=-[a^2+b^2+(a+b{)}^2]\ne 0$$
（否则 $a=b=0$，与三直线互异矛盾），故方程组有唯一解，即三条直线交于一点。综上，三直线交于一点 $⟺a+b+c=0$。