2003 年考研数学（一） 第 21 题

第一问识别为超几何分布（不放回抽样计数次品），期望可暴力求和，也可用示性变量 $X=X_1+X_2+X_3$、每件次品概率 $\frac{1}{2}$ 巧算。第二问的信号是「乙箱成分本身随机」——先按第一阶段结果 $X=i$ 分情形，再用全概率公式合成；这种「两阶段抽样」几乎都是全概率/贝叶斯的用武之地。

(1) 从甲箱 $6$ 件（$3$ 合格、$3$ 次品）中任取 $3$ 件放入乙箱，乙箱新增的次品数 $X$ 服从超几何分布，取值 $0,1,2,3$：
$$P\{X=0\}=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20},P\{X=1\}=\frac{C_3^2{C}_3^1}{C_6^3}=\frac{9}{20},$$
$$P\{X=2\}=\frac{C_3^1{C}_3^2}{C_6^3}=\frac{9}{20},P\{X=3\}=\frac{C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}.$$

故
$$E(X)=0\cdot \frac{1}{20}+1\cdot \frac{9}{20}+2\cdot \frac{9}{20}+3\cdot \frac{1}{20}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}.$$
（也可令示性变量 $X_i$ 表示第 $i$ 件取到次品，$X=X_1+X_2+X_3$，$E(X_i)=\frac{1}{2}$，得 $E(X)=\frac{3}{2}$。）

(2) 放入后乙箱共有 $3+3=6$ 件，其中次品 $X$ 件。令 $A_i=\{X=i\}(i=0,1,2,3)$，$B=\{$从乙箱任取一件是次品$\}$，则 $P(B\mid A_i)=\frac{i}{6}$。由全概率公式
$$P(B)=\sum _{i=0}^{3}P(A_i)P(B\mid A_i)=\frac{9}{20}\cdot \frac{1}{6}+\frac{9}{20}\cdot \frac{2}{6}+\frac{1}{20}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}.$$