2003 年考研数学（一） 第 22 题

最小值统计量的分布几乎是固定套路——从「$\min >x$ 等价于所有样本 $>x$」出发，用独立性得 $[1-F{]}^n$，取补得 $F_{\hat{\theta }}$。判无偏只需算 $E(\hat{\theta })$：由指数型密度积分得 $E(\hat{\theta })=\theta +\frac{1}{2n}$，与 $\theta$ 相差一个偏移量，故是有偏估计。识别信号就是「$\hat{\theta }=\min$」直接指向次序统计量的分布方法。

(1) $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$。当 $x<\theta$ 时 $F(x)=0$；当 $x\ge \theta$ 时
$$F(x)={\int }_{\theta }^{x}2e^{-2(t-\theta )}dt=-e^{-2(t-\theta )}{|}_{\theta }^x=1-e^{-2(x-\theta )}.$$
故
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<\theta ,\\ 1-e^{-2(x-\theta )},& x\ge \theta .\end{array}$$

(2) 用最小值分布：
$$F_{\hat{\theta }}(x)=P\{\hat{\theta }\le x\}=1-P\{\underset{i}{\min }{X}_i>x\}=1-\prod _{i=1}^{n}P\{X_i>x\}=1-[1-F(x){]}^n.$$
当 $x<\theta$ 时为 $0$；当 $x\ge \theta$ 时为 $1-[e^{-2(x-\theta )}{]}^n=1-e^{-2n(x-\theta )}$。故
$$F_{\hat{\theta }}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<\theta ,\\ 1-e^{-2n(x-\theta )},& x\ge \theta .\end{array}$$

(3) $\hat{\theta }$ 的概率密度为
$$f_{\hat{\theta }}(x)=\{\begin{array}{ll}2n{e}^{-2n(x-\theta )},& x>\theta ,\\ 0,& x\le \theta .\end{array}$$
计算期望（令 $2n(x-\theta )=t$）：
$$E(\hat{\theta })={\int }_{\theta }^{+\infty }x\cdot 2n{e}^{-2n(x-\theta )}dx={\int }_0^{+\infty }(\theta +\frac{t}{2n})e^{-t}dt=\theta +\frac{1}{2n}.$$
因 $E(\hat{\theta })=\theta +\frac{1}{2n}\ne \theta$，故 $\hat{\theta }$ 不是 $\theta$ 的无偏估计量。