2002 年考研数学（一） 第 9 题

把几何问题翻译成方程组解的存在与唯一性：秩相等保证有解，秩 $2<3$ 保证解不唯一、自由度为 $1$，即公共点构成一条直线。识别到解集是直线就直接对应三面共线，其余选项分别对应秩为 $3$ 或增广秩更大的情形。

分析：三张平面的公共点集即线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ 的解集，由系数矩阵与增广矩阵的秩判定解的情况。

记系数矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$，增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$。由 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2<3$，方程组有解且有无穷多解，解集为一条直线。

这说明三张平面有无穷多个公共点，即它们相交于同一条直线。而 (A) 只有一个公共点（对应 $r=3$），(C)、(D) 没有公共点（对应 $r(\mathbf{A})\ne r(\overline{\mathbf{A}})$），均不符。故选 B。