2002 年考研数学（一） 第 8 题

核心直觉是：有界函数不可能有一个不趋于零的导数极限，否则由中值定理函数会线性增长冲破界。抓住这条，正面用反证法证正确选项；对其余三项，凭极限的存在性与单双侧差异构造反例（如 $\sin x$、$\arctan x$）逐一否定。

分析：题设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 有界且可导。关键结论：有界函数当 $x\to +\infty$ 时若导数有极限，则该极限必为 $0$。

(B) 正确，证明： 反设 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=A\ne 0$，不妨设 $A>0$。取 ${\epsilon }_0=\frac{A}{2}$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时 $f^{\prime }(x)>\frac{A}{2}$。由拉格朗日中值定理，$f(x)-f(X)=f^{\prime }(\xi )(x-X)>\frac{A}{2}(x-X)(\xi \in (X,x))$，故 $f(x)\to +\infty$，与 $f$ 有界矛盾。所以必有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$。

其余选项均有反例（下列函数在 $(0,+\infty )$ 上均有界可导）：
- (A)：$f(x)=\frac{\sin x^2}{x}$，有界且 $f(x)\to 0$，但 $f^{\prime }(x)=2\cos x^2-\frac{\sin x^2}{x^2}$ 当 $x\to +\infty$ 无极限；
- (C)：$f(x)=\sin x$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=0$，但 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\cos 0=1\ne 0$；
- (D)：$f(x)=\arctan x$，$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=1$ 存在却不为 $0$。

故应选 B。