2002 年考研数学（一） 第 7 题

看到 $(-1{)}^{n+1}$ 且括号内是相邻两项之和，应警觉这是可裂项（望远镜求和）的结构，直接算部分和比判别法更干净。收敛性定了之后，再用 $u_n\sim n$ 把绝对值级数与调和级数比较，从而区分绝对收敛与条件收敛。

分析：这是可裂项求和的交错级数。先由部分和判断收敛性，再判断是否绝对收敛。

由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{u_n}=1$ 知 $u_n\sim n$，故 $\frac{1}{u_n}\to 0$。部分和相邻项相消：
$$S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\left(\frac{1}{u_k}+\frac{1}{u_{k+1}}\right)=\frac{1}{u_1}+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{u_{n+1}}.$$
当 $n\to \infty$ 时 $S_n\to \frac{1}{u_1}$，故级数收敛，排除 (A)、(D)。

再看绝对值级数：$\left|(-1{)}^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)\right|=\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}$。由 $\frac{1}{u_n}\sim \frac{1}{n}$、$\frac{1}{u_{n+1}}\sim \frac{1}{n+1}$，二者对应级数均发散，故 $\sum \left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 发散，原级数不绝对收敛。

综上，级数条件收敛，应选 C。