2002 年考研数学（一） 第 10 题

这类 必为密度/分布函数 的判定，统一用规范性条件作判据即可快速否定 A、B、C（积分或极限不等于 $1$）。对 D，关键洞察是独立性下 $F_1{F}_2=P\{X_1\le x\}P\{X_2\le x\}=P\{\max (X_1,X_2)\le x\}$，天然是一个分布函数。

分析：判断“是否为概率密度/分布函数”，用规范性——密度在 $\mathbb{R}$ 上积分为 $1$；分布函数满足 $F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$，单调不减、右连续。

(A) 错：${\int }_{-\infty }^{+\infty }[f_1(x)+f_2(x)]\mathrm{d}x=1+1=2\ne 1$。
(B) 错：取 $X_1,X_2\sim E(1)$，则 $f_1(x)f_2(x)=e^{-2x}(x>0)$，${\int }_0^{+\infty }{e}^{-2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ne 1$。
(C) 错：$F_1(+\infty )+F_2(+\infty )=1+1=2\ne 1$。

(D) 正确：因 $X_1,X_2$ 独立，$F_1(x)F_2(x)=P\{X_1\le x\}P\{X_2\le x\}=P\{\max (X_1,X_2)\le x\}$，恰为 $\max (X_1,X_2)$ 的分布函数（亦可直接验证 $G=F_1{F}_2$ 满足 $0\le G\le 1$、单调不减、右连续、$G(-\infty )=0,G(+\infty )=1$）。故选 D。