2002 年考研数学（一） 第 11 题

破题点是把 高阶无穷小 的定义拆成两个极限条件，从而得到两个方程恰好定两个未知数。第一个方程靠连续性（分子极限为 $0$），第二个方程靠把差商配成导数定义（因 $f^{\prime }(0)$ 存在），注意 $f(2h)$ 要配 $\frac{f(2h)-f(0)}{2h}$ 并补上因子 $2$。

分析：“比 $h$ 高阶的无穷小”意味着 $af(h)+bf(2h)-f(0)\to 0(h\to 0)$，且除以 $h$ 后极限为 $0$。分别利用连续性与导数定义得到关于 $a,b$ 的两个方程。

第一个条件（$h\to 0$ 极限为 $0$）。 令 $h\to 0$，由 $f$ 连续得 $af(0)+bf(0)-f(0)=0$，即 $(a+b-1)f(0)=0$。因 $f(0)\ne 0$，故 $a+b=1$。

第二个条件（除以 $h$ 极限为 $0$）。 由高阶无穷小定义 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{af(h)+bf(2h)-f(0)}{h}=0$。利用 $f(0)=(a+b)f(0)$，
$$\frac{af(h)+bf(2h)-(a+b)f(0)}{h}=a\cdot \frac{f(h)-f(0)}{h}+2b\cdot \frac{f(2h)-f(0)}{2h}⟶(a+2b)f^{\prime }(0).$$
故 $(a+2b)f^{\prime }(0)=0$，因 $f^{\prime }(0)\ne 0$，得 $a+2b=0$。

联立 $\{\begin{array}{l}a+b=1,\\ a+2b=0,\end{array}$ 系数行列式 $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$，有唯一解 $a=2,b=-1$。