2002 年考研数学（一） 第 12 题

两步走：先由公切线把抽象的 $f$ 在原点的值与斜率钉死（需对变限积分 ${\int }_0^{\arctan x}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$ 求导得斜率）；再把数列极限 $nf(2/n)$ 识别成导数定义的伪装形式。看到 $n\cdot f(\text{小量})$ 且 $f(0)=0$，就应联想差商 $\to f^{\prime }(0)$。

分析：先由变限积分求导得到已知曲线在原点的切线，从而得到 $f(0)$ 与 $f^{\prime }(0)$；再用导数定义求极限。

记 $g(x)={\int }_0^{\arctan x}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$。由变限积分求导与链式法则，
$$g^{\prime }(x)=e^{-{\arctan }^{2}x}\cdot \frac{1}{1+x^2},g^{\prime }(0)=e^0\cdot 1=1,$$
又 $g(0)=0$。因两曲线在 $(0,0)$ 处切线相同，故 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=1$，公共切线方程为 $y=x$。

于是由导数定义
$$\underset{n\to \infty }{\lim }nf\left(\frac{2}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }2\cdot \frac{f\left(\frac{2}{n}\right)-f(0)}{\frac{2}{n}}=2f^{\prime }(0)=2.$$