2002 年考研数学（一） 第 13 题

关键是消化 $\max$：用对角线 $y=x$ 划分区域，让 $\max$ 变成单一表达式。再利用 $x,y$ 地位对称，把两块合并为一块的两倍，从而只需处理 $\int x{e}^{x^2}\mathrm{d}x$——恰好可凑微分，绕开了 $e^{x^2}$ 无初等原函数的困难。

分析：$\max \{x^2,y^2\}$ 在 $y\le x$ 与 $y\ge x$ 两部分表达式不同，用对角线 $y=x$ 把正方形分成两块，再利用被积函数关于 $y=x$ 的对称性。

记 $D_1=\{0\le x\le 1,0\le y\le x\}$（下三角，此处 $\max \{x^2,y^2\}=x^2$），$D_2=\{0\le y\le 1,0\le x\le y\}$（上三角，$\max =y^2$）。由 $x,y$ 对称，两块积分相等：
$${\iint }_D{e}^{\max \{x^2,y^2\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2{\iint }_{D_1}{e}^{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

$$2{\iint }_{D_1}{e}^{x^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2{\int }_0^1{e}^{x^2}\left({\int }_0^x\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x={\left[e^{x^2}\right]}_0^1=e-1.$$
故原积分等于 $e-1$。