2002 年考研数学（一） 第 2 题

隐函数在某点的高阶导，套路是逐阶求导、逐阶代入：每求一次导就把已知点的值代进去，把下一阶导数当作唯一未知量解出，从而绕开解显式 $y(x)$ 的麻烦。突破口是先用原方程定出 $y(0)$。

分析：隐函数求二阶导，逐次对 $x$ 求导并代入 $x=0$。

当 $x=0$ 时，由 $e^y-1=0$ 得 $y(0)=0$。方程两边对 $x$ 求导：
$$e^y{y}^{\prime }+6y+6x{y}^{\prime }+2x=0.(\ast )$$
代入 $x=0,y=0$，得 $y^{\prime }(0)=0$。

将 $(\ast )$ 再对 $x$ 求导：
$$e^y(y^{\prime }{)}^2+e^y{y}^{\prime \prime }+12y^{\prime }+6x{y}^{\prime \prime }+2=0.$$
代入 $x=0,y=0,y^{\prime }(0)=0$，得 $y^{\prime \prime }(0)+2=0$，故 $y^{\prime \prime }(0)=-2$。