2002 年考研数学（一） 第 3 题

这类降阶方程的突破口是识别左端恰为一个完全导数：$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }$。看出这一点后，方程 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0$ 直接积分两次即可，比套 $y^{\prime \prime }=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ 的通法更快。看到 $(y^{\prime }{)}^2$ 与 $y{y}^{\prime \prime }$ 并列，就应联想乘积求导的逆。

分析：注意 $y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }$，方程即 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0$，可直接积分。

由 $(y{y}^{\prime }{)}^{\prime }=0$ 积分得 $y{y}^{\prime }=C_1$。代入 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ 得 $C_1=\frac{1}{2}$，即 $y{y}^{\prime }=\frac{1}{2}$，亦即 $(y^2{)}^{\prime }=1$。

再积分得 $y^2=x+C_2$。由 $y(0)=1$ 得 $C_2=1$，故 $y^2=x+1$。结合 $y(0)=1>0$，所求特解为 $y=\sqrt{x+1}$。