2002 年考研数学（一） 第 4 题

正交变换是相似变换，保持特征值不变，所以标准形的系数就是 $\mathbf{A}$ 的特征值 $6,0,0$。识别这一点后，最省事的是用迹等于特征值之和列出一个线性方程定 $a$，避免展开特征多项式。

分析：正交变换保持特征值，二次型矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值即标准形的系数。由标准形 $f=6y_1^2$ 知特征值为 $6,0,0$。

二次型矩阵为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 2\\ 2& a& 2\\ 2& 2& a\end{array}\right)$，其特征值为 ${\lambda }_1=6,{\lambda }_2={\lambda }_3=0$。

由迹 $\mathrm{tr}\mathbf{A}=3a={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=6$，得 $a=2$。

（另解：由 $|\mathbf{A}|=(a+4)(a-2{)}^2=0$ 得 $a=2$ 或 $a=-4$；但 $a=-4$ 时特征值为 $0,-6,-6$，与题设 $6,0,0$ 矛盾，舍去。）故 $a=2$。