2002 年考研数学（一） 第 5 题

关键是把代数条件（无实根 $⟺\Delta <0$）转化为 $X$ 的概率事件，得到 $P\{X>c\}=\frac{1}{2}$。再利用正态分布的对称性：唯一使 $P\{X>c\}=\frac{1}{2}$ 的位置是 $c=\mu$，据此定出 $\mu$。

分析：二次方程无实根 $⟺$ 判别式 $<0$，把它翻译成关于 $X$ 的事件，再利用正态分布关于均值的对称性。

方程 $y^2+4y+X=0$ 无实根 $⟺\Delta =16-4X<0⟺X>4$。由题意 $P\{X>4\}=\frac{1}{2}$。

而 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 关于 $\mu$ 对称，$P\{X>\mu \}=\frac{1}{2}$。故 $\mu =4$。