2002 年考研数学（一） 第 1 题

看到 $\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 与 $\ln x$ 成对出现，第一反应就是凑微分、把 $\ln x$ 当新变量，这样反常积分立刻化为最基本的幂函数积分；是否收敛只需看换元后上限处的极限。

分析：被积函数含 $\frac{1}{x}$ 与 $\ln x$，凑微分 $\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 即可化为关于 $\ln x$ 的反常积分。

$${\int }_e^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}={\int }_e^{+\infty }\frac{\mathrm{d}(\ln x)}{{\ln }^{2}x}={\left[-\frac{1}{\ln x}\right]}_e^{+\infty }=0-\left(-\frac{1}{\ln e}\right)=1.$$

故该反常积分收敛，值为 $1$。