2001 年考研数学（一） 第 4 题

由矩阵多项式方程求某个矩阵的逆，思路是「制造一个乘积等于单位阵的倍数」。看到要求 $(A-E{)}^{-1}$，就去已知式里找能分解出因子 $A-E$ 的部分——$A^2+A-2E=(A-E)(A+2E)$ 正好（因为 $A$ 与自身的多项式可交换，故可照实数那样因式分解）。于是把 $A^2+A-4E=O$ 改写成 $(A-E)(A+2E)=2E$，逆矩阵便由定义直接读出。

分析：把已知等式凑成 $(A-E)(\cdots )=kE$ 的形式，即可由逆矩阵定义读出。

由 $A^2+A-4E=O$，即 $A^2+A-2E=2E$，而 $A^2+A-2E=(A-E)(A+2E)$，故 $(A-E)(A+2E)=2E.$

于是 $(A-E)\cdot \frac{1}{2}(A+2E)=E$，由逆矩阵的定义得 $(A-E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(A+2E).$