2001 年考研数学（一） 第 3 题

交换积分次序题的通法是「由积分限还原区域、再换一种方式描述区域」，而不是机械地调换符号。本题一个易被忽视的信号是内层上限比下限小（$1-y\le 2$），要先摆正方向并记下负号；然后据 $-1\le y\le 0,1-y\le x\le 2$ 画出三角形区域，把它按 $X$ 型（先 $y$ 后 $x$）重新切分，自然写出交换后的二次积分。

分析：先把内层积分上、下限理顺，再由积分区域 $D$ 写成 $X$ 型区域后交换次序。

由于 $1-y\le 2$，有 ${\int }_2^{1-y}=-{\int }_{1-y}^2$，故 ${\int }_{-1}^{0}dy{\int }_2^{1-y}f(x,y)dx=-{\int }_{-1}^{0}dy{\int }_{1-y}^{2}f(x,y)dx.$

积分区域 $D=\{(x,y)\mid 1-y\le x\le 2,-1\le y\le 0\}$，是以 $(1,0),(2,0),(2,-1)$ 为顶点的三角形。将其表示成 $X$ 型区域：$D=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,1-x\le y\le 0\}.$

故 ${\int }_{-1}^{0}dy{\int }_2^{1-y}f(x,y)dx=-{\int }_1^{2}dx{\int }_{1-x}^{0}f(x,y)dy.$