2001 年考研数学（一） 第 2 题

看到 $\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)$ 应立刻联想到它就是 $r$ 的拉普拉斯算子 $\Delta r$，把「散度·梯度」拆成两步做。第一步的核心是记住 $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}$，于是梯度就是单位径向向量 $\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right)$；第二步求散度时把 $x^2+y^2+z^2$ 整体换成 $r^2$ 能大幅化简，最后才在给定点代数，避免先代数再求导的繁琐。

分析：$\mathrm{grad}r$ 为 $r$ 的梯度，$\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)$ 即 $r$ 的拉普拉斯算子 $\Delta r$。

$\mathrm{grad}r=\left(\frac{\partial r}{\partial x},\frac{\partial r}{\partial y},\frac{\partial r}{\partial z}\right)=\left(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}\right).$

$\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)=\frac{r-\frac{x^2}{r}}{r^2}+\frac{r-\frac{y^2}{r}}{r^2}+\frac{r-\frac{z^2}{r}}{r^2}=\frac{3r-\frac{x^2+y^2+z^2}{r}}{r^2}=\frac{3r-r}{r^2}=\frac{2}{r}.$

在点 $(1,-2,2)$ 处 $r=\sqrt{1+4+4}=3$，故 ${\mathrm{div}(\mathrm{grad}r)|}_{(1,-2,2)}=\frac{2}{3}.$