2001 年考研数学（一） 第 1 题

这类「已知通解反求方程」的题，关键是通解的结构已经把特征根写在脸上：形如 $e^{\alpha x}(C_1\sin \beta x+C_2\cos \beta x)$ 必对应一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$。所以先从 $e^x\sin x,e^x\cos x$ 读出 $\alpha =1,\beta =1$，得根 $1\pm i$，再由根乘出特征方程，最后按二阶常系数方程与特征方程的对应关系写回 $y^{\prime \prime },y^{\prime },y$ 即可。

分析：由通解形式反推特征根，再写出特征方程与微分方程。

通解中含 $e^x\sin x$ 与 $e^x\cos x$，对应特征方程有一对共轭复根 ${\lambda }_{1,2}=1\pm i$。

于是特征方程为 $(\lambda -1-i)(\lambda -1+i)=0$，即 ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$。故所求二阶常系数齐次线性微分方程为 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y=0$。