2000 年考研数学（一） 第 9 题

关键翻译：$\beta$ 组无关 $⟺r(B)=m=r(A)$。而同型矩阵秩相等就必等价，所以 D 是充要条件；A、B 只给出单方向线性表示、C 要求两组等价（互相表示），要么太弱要么太强。用“秩”这一统一语言比较各选项，最容易看清充要性。

分析：向量组线性无关 $⟺$ 其构成矩阵的秩等于向量个数。记 $A=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m),B=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)$，由 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关得 $r(A)=m$。

充分性：若 $A,B$ 等价，则 $r(B)=r(A)=m$，故 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$ 线性无关；必要性：若 ${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$ 线性无关，则 $r(B)=m=r(A)$，同型且同秩的矩阵必等价。故选 D。

A、B、C 均不是充要条件：如 C 要求两组可互相线性表示，条件过强；A、B 各自只保证一个方向，均可举出反例。