2000 年考研数学（一）第 10 题

选择题 · 3 分

设二维随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布，则随机变量

ξ = X + Y

与

η = X - Y

不相关的充分必要条件为（　　）

提示 1

“不相关”的定义就是协方差为零：

Cov (ξ, η) = 0

。

提示 2

用协方差的双线性把

Cov (X + Y, X - Y)

展开。

提示 3

展开后会出现

D (X) - D (Y)

，再把方差写成

E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

对照选项。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

不相关即

Cov (ξ, η) = 0

。利用协方差双线性，

Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y)

，所以条件化为

D (X) = D (Y)

；把方差展开成

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = E (Y^{2}) - [E (Y)]^{2}

就精确对应选项 B。

解答

分析：

ξ, η

不相关

⟺ Cov (ξ, η) = 0

。

Cov (ξ, η) = Cov (X + Y, X - Y) = Cov (X, X) - Cov (Y, Y) = D (X) - D (Y) .

故不相关

⟺ D (X) = D (Y)

，即

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = E (Y^{2}) - [E (Y)]^{2}

，应选 B。

2000 年考研数学（一） 第 10 题