2000 年考研数学（一） 第 11 题

见到 $e^{1/x}$ 和 $|x|$ 就要警觉：$x\to 0$ 时左右行为迥异，必须分左右极限。右侧 $e^{4/x}$ 是最高阶无穷大、使分式趋 $0$，左侧指数项趋 $0$、使分式趋 $2$；再配合 $\frac{\sin x}{|x|}$ 在两侧取 $+1$、$-1$，最终左右极限都等于 $1$，故极限存在且为 $1$。

分析：$e^{1/x}$ 在 $x\to 0^{+}$ 与 $x\to 0^{-}$ 时行为截然不同，$\frac{\sin x}{|x|}$ 也随 $x$ 的符号变化，因此须分别求左、右极限。

右极限（$x\to 0^{+}$）：此时 $\frac{1}{x}\to +\infty$，$e^{1/x},e^{4/x}\to +\infty$，分母中 $e^{4/x}$ 为高阶无穷大，$\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}\to 0$；又 $|x|=x$，$\frac{\sin x}{|x|}=\frac{\sin x}{x}\to 1$。故右极限 $=0+1=1$。

左极限（$x\to 0^{-}$）：此时 $\frac{1}{x}\to -\infty$，$e^{1/x},e^{4/x}\to 0$，$\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}\to \frac{2}{1}=2$；又 $|x|=-x$，$\frac{\sin x}{|x|}=\frac{\sin x}{-x}\to -1$。故左极限 $=2-1=1$。

左、右极限相等，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)=1$。