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2000 年考研数学（一）第 12 题

解答题 · 5 分

设

z = f (x y, \frac{x}{y}) + g (\frac{y}{x})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，

g

具有二阶连续导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

.

提示 1

记

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

为

f

对两个中间变量

u = x y, v = \frac{x}{y}

的偏导，先求一阶偏导

\frac{\partial z}{\partial x}

。

提示 2

再对

y

求导时，

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

本身仍是以

x y, \frac{x}{y}

为中间变量的复合函数，要继续用链式法则展开。

提示 3

整理时利用二阶偏导连续

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

，把交叉项合并化简。

答案与详解

思路（为什么这么做）

抽象复合函数求偏导，核心是设中间变量并牢记

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

依旧是复合函数。先求

\frac{\partial z}{\partial x}

，对

y

再求导时对每个

f_{i}^{'}

都得链式展开、别漏项；最后用

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

把两个交叉二阶偏导合并抵消，是化简到最简形式的关键一步。

解答

分析：记

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

为

f

对第一、第二个中间变量的偏导数。先对

x

求偏导，再对

y

求偏导，注意

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

仍是以

x y, \frac{x}{y}

为中间变量的复合函数。

由复合函数求偏导法则（中间变量

x y, \frac{x}{y}

，

g

的自变量为

\frac{y}{x}

）：

\frac{\partial z}{\partial x} = y f_{1}^{'} + \frac{1}{y} f_{2}^{'} - \frac{y}{x ^{2}} g^{'} .

再对

y

求偏导：

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{1}^{'} + y (x f_{11}^{''} - \frac{x}{y ^{2}} f_{12}^{''}) - \frac{1}{y ^{2}} f_{2}^{'} + \frac{1}{y} (x f_{21}^{''} - \frac{x}{y ^{2}} f_{22}^{''}) - \frac{1}{x ^{2}} g^{'} - \frac{y}{x ^{3}} g^{''} .

由

f

二阶偏导连续，

f_{12}^{''} = f_{21}^{''}

，含

f_{12}^{''}, f_{21}^{''}

的两项

- \frac{x}{y} f_{12}^{''} + \frac{x}{y} f_{21}^{''}

相消，整理得

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = f_{1}^{'} - \frac{1}{y ^{2}} f_{2}^{'} + x y f_{11}^{''} - \frac{x}{y ^{3}} f_{22}^{''} - \frac{1}{x ^{2}} g^{'} - \frac{y}{x ^{3}} g^{''} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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