2000 年考研数学（一） 第 13 题

这是“$P_y=Q_x$ 但奇点被围在内”的典型题。因原点在 $L$ 内，直接套格林公式不合法，用挖洞法套一条小闭曲线把奇点单独隔开，使 $I$ 等于小曲线上的积分；小曲线刻意取成 $4x^2+y^2=r^2$ 让分母恒为 $r^2$，再用格林公式化成椭圆面积得 $\pi$。

分析：记 $P=\frac{-y}{4x^2+y^2},Q=\frac{x}{4x^2+y^2}$。当 $(x,y)\ne (0,0)$ 时 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2{)}^2}$。因 $R>1$，原点 $(0,0)$ 落在 $L$ 内部，被积表达式在原点无定义，需用“挖洞法”。

作小椭圆 $L_0:4x^2+y^2=r^2$（$r>0$ 充分小使 $L_0$ 全在 $L$ 内），取逆时针方向。在 $L$ 与 $L_0$ 所夹区域 $D_1$ 上 $P,Q$ 有连续偏导且 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，由格林公式
$${\oint }_{L+L_0^{-}}\frac{xdy-ydx}{4x^2+y^2}={\iint }_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0,$$
于是 $I={\oint }_L={\oint }_{L_0}$。

在 $L_0$ 上 $4x^2+y^2=r^2$，故
$$I={\oint }_{L_0}\frac{xdy-ydx}{r^2}=\frac{1}{r^2}{\oint }_{L_0}(xdy-ydx).$$
设 $L_0$ 所围区域为 $D_2$，由格林公式 ${\oint }_{L_0}(xdy-ydx)={\iint }_{D_2}2d\sigma =2\cdot S_{D_2}$。

椭圆 $4x^2+y^2=r^2$ 即 $\frac{x^2}{(r/2{)}^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$，半轴为 $\frac{r}{2}$ 与 $r$，面积 $S_{D_2}=\pi \cdot \frac{r}{2}\cdot r=\frac{\pi r^2}{2}$。故
$$I=\frac{1}{r^2}\cdot 2\cdot \frac{\pi r^2}{2}=\pi .$$